蒙日(蒙日画法几何学)

蒙日圆定理证明

这用笛沙格定理可证，梅列劳斯定理亦可。两方法其实本质相同。

这与射影几何学有关。

限于本人打字水平，无法帮你。

详解可见高中数学竞赛几何专题。上网查更快。

蒙日定理

在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴。编辑本段根轴方程设两圆O1,O2的方程分别为：(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=0(1)(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2=0(2)由于根轴上任意点对两圆的圆幂相等，所以根轴上任一点(x,y),有(x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=圆幂=(x-a2)^2+(y-b2)^2-(r2)^2两式相减，得根轴的方程(即x,y的方程)为2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0其中f1=(a1)^2+(b1)^2-(r1)^2,f2类似。编辑本段解的不同可能(1)(2)连立的解，是两圆的公共点M(x1,y1),N(x2,y2)如果是两组不等实数解，MN不重合且两圆相交，根轴是两圆的公共弦。如果是相等实数解，MN重合，两圆相切，方程表示两圆的内公切线。如果是共轭虚数解，两圆相离，只有代数规律发挥作用，在坐标系内没有实质。称M,N是共轭虚点。编辑本段相关定理1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。

蒙日圆的推导过程

欲证此式，得先知道Lagrange中值定理，以及高阶导数的计算，从而得出Taylor定理。

1.lagrange中值定理：若X∈[a,b],且X在其上连续，并且可导，则有ξ∈[a,b],使得

f′（ξ）=[f(b)-f(a)]/(b-a)。

2.sinX的n阶导数为sin（X+nπ/2），

cosX的n阶导数为cos（X+nπ/2）。

这里用fn(y)表示f（y）的n阶导数。

下面就不说Taylor定理的证明，结论是

x,y∈[a,b],f(x)在（a,b）上n阶可导，有

f(x)=f(y)+f′(y)(x-y)+f〃(y)(x-y)²+…

+fn（y）（x-y)^n/n!+0(x-y)^n

其中0（x-y)^n表示比（x-y）的n次方高阶的无穷小。

令y=0，故有siny的n阶导数当y=0时，

n为偶数时为0，

n=4k+1时为1，

n=4k+3时为-1.

同理，cosy的n阶导数当y=0时，

n为奇数时其为0，

n=4k时为1，

n=4k+2时其为-1.

故sinX=sin0-cos0-（sin0）/2+……

+sin（x+nπ/2）（x-0)^n+0（x-0）^n

=x-x³/3!+x^5/5!-……

+sin（x+nπ/2）（x)^n+0（x）^n

令n→∞，有sinx=x-x³/3!+x^5/5!

-x^7/7!+……

cosx同理可证。

蒙日画法几何学

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以上就是关于蒙日的相关介绍，余只知有“某月某日”之说，其有书为凭、有案可查。内容来源于互联网，信息真伪需自行辨别。如有侵权请联系删除。